Verwachtings maximalisatie (EM)

Wat is verwachtings maximalisatie?

Verwachtingsmaximalisatie, afgekort EM, is een statistisch algoritme dat wordt gebruikt voor het schatten van parameters in statistische modellen, vooral wanneer je dataset onvolledige of verborgen informatie bevat.

Het belangrijkste kenmerk van het algoritme is de mogelijkheid om maximale waarschijnlijkheid schattingen te vinden voor model parameters – de waarden die de waargenomen gegevens het meest waarschijnlijk maken – wat een centrale taak is in veel statistische toepassingen.

De wortels van het EM-algoritme gaan terug tot de jaren 1970. Het werd geformuleerd door Arthur Dempster, Nan Laird en Donald Rubin in hun baanbrekende paper uit 1977. Hun werk consolideerde verschillende statistische schattingsmethoden in één algemener kader. Dit was een belangrijke vooruitgang, omdat het een systematische manier bood om een groot aantal complexe statistische problemen te benaderen en op te lossen die voorheen met meer ad-hoc methoden werden aangepakt.

Het verwachtings maximalisatie-algoritme, uitgelegd

Het basisconcept van het EM-algoritme bestaat uit het iteratief toepassen van twee stappen: de Verwachtingen Stap (E) en de Maximalisatie Stap (M).

In de E-stap schat het algoritme de ontbrekende of verborgen gegevens op basis van een schatting van de model parameters. Vervolgens worden in de M-stap de model parameters bijgewerkt om de waarschijnlijkheid van de gegevens te maximaliseren, met inbegrip van de nieuw geschatte waarden.

Dit proces wordt herhaald, waarbij elke iteratie de parameterschattingen verbetert en dichter bij de maximale waarschijnlijkheid oplossing komt.

In gegevensanalyse is EM erg nuttig bij het omgaan met onvolledige datasets of bij het modelleren van complexe verschijnselen met latente variabelen (variabelen die niet direct worden waargenomen, maar worden afgeleid uit andere variabelen). Het is een veelzijdig hulpmiddel dat wordt gebruikt op verschillende gebieden zoals machine learning, computervisie, bio-informatica en economie.

Het vermogen van het algoritme om gegevens met ontbrekende elementen te verwerken zonder ontbrekende waarden te hoeven weggooien of kunstmatig toe te rekenen, maakt het een waardevolle techniek voor het verkrijgen van inzichten uit onvolledige of imperfecte datasets.

Hoe verwachting maximalisatie-algoritme werkt

Het verwachtings maximalisatie algoritme is een geavanceerde methode die wordt gebruikt in statistische analyse om de meest waarschijnlijke parameter schattingen te vinden voor modellen met verborgen variabelen.

Eenvoudiger gezegd, het is als een detective die iteratieve aanwijzingen verzamelt (gegevens) en zijn hypotheses verfijnd (model parameters) om een mysterie op te lossen (de dataset voltooien).

Laten we dit proces opsplitsen in twee hoofdfasen: de stappen Verwachting en Maximalisatie.

1. Initialisatie: Voordat het EM-algoritme begint, heeft het initiële schattingen nodig voor de parameters die het probeert te schatten. Deze schattingen kunnen willekeurig zijn of gebaseerd op een heuristiek.
2. Verwachtingsstap (E-stap): In deze fase gebruikt het algoritme de huidige parameterschattingen om een kansverdeling te berekenen. Deze verdeling vertegenwoordigt de beste schatting van de verborgen variabelen. In wezen creëert het een ‘verwachte’ volledige gegevensreeks door de ontbrekende delen in te vullen met behulp van de bestaande parameterschattingen.
3. Maximalisatiestap (M-stap): Nu neemt het algoritme de verwachte gegevens uit de E-stap en werkt de parameters bij om de waarschijnlijkheid van deze ‘voltooide’ gegevens te maximaliseren. In deze stap worden de parameters verfijnd zodat ze nauwkeuriger passen bij de gegevens, inclusief het verborgen deel dat in de E-stap is geschat.
4. Herhalen: Het EM-algoritme doorloopt deze twee stappen, waarbij elke keer de parameterschattingen worden verfijnd op basis van de nieuwe informatie die in de vorige iteratie is verkregen. Het proces gaat door totdat de veranderingen in de parameterschattingen verwaarloosbaar klein worden, wat aangeeft dat het algoritme is geconvergeerd naar de meest waarschijnlijke schattingen.

Voorbeeld

Laten we dit illustreren met een voorbeeld uit de praktijk.

Stel je voor dat je als leerkracht een pot met gemengde rode en blauwe knikkers hebt en je wilt de verhouding van elke kleur schatten. Leerlingen kunnen echter alleen de kleur aangeven zonder de knikker te laten zien.

In eerste instantie denk je dat er een gelijk aantal van elke kleur is (dit is de initialisatie stap).

1. E-stap: Op basis van je eerste gok bereken je de verwachte proporties rode en blauwe knikkers die elke leerling waarschijnlijk zal aangeven.
2. M-stap: Vervolgens pas je je schatting van de verhoudingen aan om de waarschijnlijkheid te maximaliseren dat de gerapporteerde kleuren van de leerlingen overeenkomen met de verwachte verhoudingen.

Door deze stappen iteratief uit te voeren, worden je schattingen van de knikker verhoudingen nauwkeuriger en uiteindelijk convergeer je naar de ware verhouding in de pot.

Sleutelbegrippen in het Verwachtings Maximalisatie-algoritme

Om het EM-algoritme te begrijpen, moet je bekend zijn met een paar belangrijke statistische termen. Deze termen zijn de bouwstenen van het EM-algoritme en zijn belangrijk om te begrijpen hoe het werkt en waarom het nuttig is.

Het iteratieve proces en de theoretische onderbouwing van EM

De kracht van het EM-algoritme ligt in zijn iteratieve aard. Met elke cyclus van E en M stappen worden de parameterschattingen verfijnd, waardoor het model beter op de gegevens aansluit.

Dit proces gaat door totdat het algoritme convergeert, wat betekent dat volgende iteraties de parameters niet meer significant veranderen. Convergentie geeft aan dat de meest waarschijnlijke schattingen voor de parameters zijn gevonden.

De wiskundige basis van het EM-algoritme is gebaseerd op kansrekening en statistiek. Het maakt gebruik van het concept van waarschijnlijkheid – de waarschijnlijkheid van de waargenomen gegevens onder een bepaald model. Door deze waarschijnlijkheid te maximaliseren, zoekt het algoritme de parameters die de waargenomen gegevens het meest waarschijnlijk maken.

Het EM-algoritme steunt ook sterk op het idee van latente variabelen. Dit zijn variabelen die niet direct worden waargenomen, maar die belangrijk zijn voor de structuur van het model. Door deze latente variabelen te schatten, kan het EM-algoritme werken met onvolledige gegevens.

Gaussisch Mengsel Model en het EM-algoritme

Een Gaussian Mixture Model (GMM) is een probabilistisch model dat ervan uitgaat dat datapunten worden gegenereerd uit een mengsel van verschillende Gaussische (normale) verdelingen, elk met een eigen gemiddelde en variantie.

Dit model is vooral nuttig in scenario’s waar gegevens uit verschillende overlappende patronen of clusters lijken te bestaan. Zie GMM als een manier om complexe gegevens met meerdere pieken te beschrijven met behulp van een combinatie van eenvoudigere, klokvormige pieken.

Het algoritme voor verwachtings maximalisatie speelt een rol in de doeltreffendheid van GMM’s. De uitdaging met GMM’s is het bepalen van de parameters (gemiddelden, varianties en meng coëfficiënten) van deze Gaussische verdelingen wanneer deze niet van tevoren bekend zijn.

Hier komt EM om de hoek kijken:

1. Initialisatie: Het algoritme begint met initiële gissingen voor de parameters van de Gaussiaanse verdelingen.
2. E-stap: Het berekent de waarschijnlijkheid van elk gegevenspunt dat tot elk van de Gaussische verdelingen behoort, op basis van de huidige parameterschattingen.
3. M-stap: Met behulp van deze waarschijnlijkheden werkt het algoritme de parameters van de Gaussians bij om de fit met de gegevens te maximaliseren.

Door deze stappen iteratief uit te voeren, verfijnt het EM-algoritme de parameters van de Gaussische verdelingen in het mengmodel totdat deze de waargenomen gegevens het beste weergeven.

Voordelen van het gebruik van GMM’s met EM in gegevensanalyse

Het gebruik van GMM’s in combinatie met het EM-algoritme heeft verschillende voordelen bij gegevensanalyse.

1. Flexibiliteit in het modelleren van gegevens: GMM’s kunnen een breed scala aan gegevens verdelingen modelleren, veel meer dan een enkele Gaussische verdeling. Dit maakt GMM’s uiterst veelzijdig in praktische toepassingen.
2. Zachte clustering: In tegenstelling tot harde cluster methoden die elk gegevenspunt in een enkele cluster dwingen, maken GMM’s zachte clustering mogelijk. Dit betekent dat gegevenspunten in verschillende mate tot meerdere clusters kunnen behoren, wat meer overeenkomt met echte gegevens.
3. Omgaan met complexe datasets: GMM’s kunnen via EM effectief omgaan met complexe, multimodale datasets (gegevens met meerdere pieken), wat een uitdaging is voor veel andere statistische methoden.
4. Schatting van verborgen variabelen: GMM’s zijn bedreven in het blootleggen van latente structuren in de gegevens, waardoor ze waardevol zijn in scenario’s waarin de onderliggende verdeling van de dataset niet duidelijk is.

Deze synergie maakt een meer genuanceerde en nauwkeurige modellering van echte gegevens mogelijk.

Voorbeeld van Gaussian Mixture Model

Laten we het gebruik van een Gaussian Mixture Model bespreken aan de hand van een praktisch voorbeeld. Stel, we hebben een dataset met populatiegrootte en we willen deze gegevens modelleren met een GMM.

Ons doel is om verschillende subgroepen binnen deze populatie te identificeren, zoals mannen en vrouwen, op basis van hun lengte.

1. Gegevensverzameling: We verzamelen lengtes van een steekproefpopulatie. De gegevens laten een reeks hoogtes zien met duidelijke clustering.
2. Initialisatie: We nemen aan dat er twee groepen (clusters) zijn in onze gegevens (lengtes van mannen en vrouwen) en we maken een initiële schatting van de parameters (gemiddelden en varianties) voor deze twee Gaussiaanse verdelingen.
3. Verwachtingsstap: Voor elk gegevenspunt (lengte) berekent het EM-algoritme de waarschijnlijkheid dat het tot de mannelijke of vrouwelijke lengteverdeling behoort op basis van onze huidige parameterschattingen.
4. Maximalisatiestap: Het algoritme werkt vervolgens de parameters van beide verdelingen bij om de waarschijnlijkheid te maximaliseren dat de gegevenspunten tot hun respectieve groepen behoren. Hierbij worden de gemiddelden en varianties van elke verdeling aangepast.
5. Iteratie: Herhaal de E-stap en M-stap totdat de parameters zich stabiliseren, wat aangeeft dat het model de gegevens nauwkeurig weergeeft.

Na een aantal iteraties tekenen we het uiteindelijke model, dat twee verschillende belkrommen (Gaussische verdelingen) moet laten zien over het histogram van onze hoogtegegevens. De ene curve piekt bij een kleiner lengte bereik (dat vrouwen vertegenwoordigt) en de andere bij een groter bereik (dat mannen vertegenwoordigt).

Als we dit interpreteren, zien we dat de GMM met succes twee groepen in onze gegevens heeft geïdentificeerd, die overeenkomen met de lengte van mannen en vrouwen.

De overlap tussen de twee verdelingen geeft het bereik van hoogtes aan waar zowel mannelijke als vrouwelijke lengten voorkomen. De gemiddelden van de verdelingen geven ons een schatting van de gemiddelde lengte voor mannen en vrouwen, terwijl de variaties inzicht geven in de variabiliteit van de lengtes binnen elke groep.

Dit voorbeeld laat zien hoe een Gaussian Mixture Model, toegepast met behulp van het Expectation Maximization-algoritme, op effectieve wijze verborgen patronen in een dataset kan identificeren en modelleren, waardoor waardevolle inzichten worden verkregen in de onderliggende structuur.

Voordelen en nadelen van EM-algoritme

Het algoritme voor verwachtings maximalisatie is een krachtig hulpmiddel, maar zoals alle methoden heeft het zijn sterke punten en beperkingen.

Toepassingen van verwachting maximalisatie

Het verwachtings maximalisatie algoritme is een waardevol hulpmiddel in complexe scenario’s in de echte wereld omdat het onvolledige gegevens kan verwerken en latente structuren kan blootleggen. Hier zijn enkele toepassingen

Bio-informatica

In de bio-informatica wordt EM gebruikt voor taken als genetische clustering en het begrijpen van evolutionaire relaties.

Het wordt bijvoorbeeld toegepast bij de analyse van genexpressie gegevens, waar het helpt bij het identificeren van clusters van genen die vergelijkbare expressiepatronen vertonen, wat suggereert dat ze mogelijk co-gereguleerd of functioneel verwant zijn. Dit helpt onderzoekers bij het begrijpen van genetische netwerken en hun rol bij ziekten.

Economie

Economen gebruiken EM voor marktsegmentatie en vraaganalyse. Door consumenten te clusteren op basis van aankooppatronen of voorkeuren, die vaak onvolledig of indirect zijn, kunnen bedrijven hun marketingstrategieën of productontwikkeling beter afstemmen op specifieke klantbehoeften.

Computer vision

In computer vision wordt EM gebruikt voor beeldanalyse taken zoals objectherkenning en segmentatie. Het kan bijvoorbeeld helpen bij het onderscheiden van verschillende objecten in een afbeelding door pixels te clusteren op basis van kleur en textuur, zelfs als delen van de afbeelding onduidelijk zijn of ontbreken.

Spraakherkenning

Bij spraakherkenning wordt EM gebruikt voor het modelleren en herkennen van spraakpatronen. Het helpt bij het opsplitsen van audio in afzonderlijke fonetische componenten, ondanks de variabiliteit en ruis in echte spraak, waardoor de nauwkeurigheid van spraakherkenningssystemen wordt verbeterd.

Astronomie

Astronomen gebruiken EM voor het analyseren van gegevens van telescopen, waarbij onvolledige gegevens een veelvoorkomende uitdaging zijn. Het helpt bij het identificeren van clusters van sterren of sterrenstelsels en het schatten van hun eigenschappen, zoals massa en afstand, die misschien niet direct meetbaar zijn.

Medische beeldvorming

In de medische beeldvorming wordt EM gebruikt om de kwaliteit van MRI-scans te verbeteren. Door EM toe te passen kunnen radiologen verschillende weefseltypen in bijvoorbeeld de hersenen scheiden, zelfs als de beelden onduidelijk of ruisachtig zijn. Dit leidt tot een betere diagnose en beter begrip van hersenaandoeningen.

Financiën

In de financiële sector wordt EM toegepast bij risicobeheer en wallet optimalisatie. Het helpt bij het identificeren van onderliggende risicofactoren in financiële markten, zelfs met onvolledige gegevens, waardoor robuustere risicobeoordeling strategieën mogelijk worden.

Conclusie

Omdat we enorme hoeveelheden gegevens blijven genereren en verzamelen, waarvan veel onvolmaakt of onvolledig is, blijft het belang van hulpmiddelen zoals EM evident. Het potentieel voor toekomstige toepassingen, vooral in opkomende technologieën en complexe gegevens gedreven velden, is enorm.

Het EM-algoritme helpt niet alleen bij het begrijpen van de huidige gegevens, maar effent ook het pad voor toekomstige innovaties in gegevensanalyse en -interpretatie.

Met de voortdurende vooruitgang in rekenkracht en algoritmische efficiëntie zal EM een belangrijk hulpmiddel blijven bij statistische analyse en machinaal leren.

Veelgestelde vragen